Analytic expression of the DOS for a new model of 1d-potential and its random perturbation
Expression analytique de la DOS pour un nouveau modèle de potentiel 1d et sa perturbation aléatoire
Résumé
In this article we present comparisons between the spectrum of a one-dimensional Schrödinger operator for a particular periodic potential and for its restriction to a finite number of sites. We deduce from this finite, but large, number of sites, the Integrated Density of States (IDS) associated to the Hamiltonian operator whose derivate is the DOS. The exact formula for the IDS is given and the expression of the DOS is analytical. All our calculations are done on the particular periodic Airy-potential, which is a new case for which one has an analytical expression of the DOS. It is a continuous, periodic potential, piecewise affine. As a periodic operator, the spectrum is a band spectrum.
Dans cet article, nous présentons des comparaisons entre le spectre d'un opérateur de Schrödinger unidimensionnel pour un potentiel périodique particulier et pour sa restriction à un nombre fini de sites. Nous déduisons de ce nombre fini, mais grand, de sites, la densité intégrée d'états (IDS en anglais) associée à l'opérateur hamiltonien dont la dérivée est la DOS. La formule exacte de l'IDS est donnée et l'expression de la DOS est analytique. Tous nos calculs sont effectués sur le potentiel d'Airy périodique particulier, qui est un nouveau cas pour lequel on dispose d'une expression analytique de la DOS. Il s'agit d'un potentiel continu, périodique et affine par morceaux. En tant qu'opérateur périodique, son spectre est un spectre de bande.
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